اذا كنت تمشي في أنحاء مستوي ثنائي الأبعاد، يمكنك الاستمرار بالمشي الى أجل غير مُسمى في كل الاتجاهات. يمكنك القول جازما، وفق حدسك، أن هناك مالانهاية في جميع أنحاء حافة المستوي، لكن بطبيعة الحال لايمكنك أبدا الوصول أو حتى رؤية تلك الحافة. لكن لا يزال بامكانك تخيل ما قد يحدث اذا قمت بكمش (من الانكماش) أوتقليص تلك الحافة-اللانهائية الى نقطة. ربما قد يكون هذا على نحو ما، مثل تشديد الرباط على طوق حقيبة قماش، عندما تشُد الرباط، الحقيبة تُغلق وتصبح مُشابهة لمجال مُشوه
من السهل أن نرى أن الأبعد خارجا، من على المستوي، نقطتك، أقرب صورة مُسقَطة لها على الكرة هي عند القطب الشمالي. لكن ولا نقطة على المستوي اسقاطها عند القطب الشمالي في حد ذاته. القطب الشمالي لا يزال مُتاحا وكنتيجة لتسلسل انتقال النقاط نحو المالانهاية على المستوي، اسقاطاتها تنتقل نحو القطب الشمالي على الكرة. ومنه فأنت تُصرح الآن أن اللانهاية هي مجرد نقطة (تعادل الرباط المشدود) اسقاطها هو القطب الشمالي للكرة
ما تحصل علية هو استمرارية التوافق واحد-الى-واحد بين المستوي الخاص بك واللانهاية والكرة. الاثنان يمكن أن نعتبرهما واحدا ونفس الشئ. المستوي مع نقطة مُلحقة عند المالانهاية يُدعى مجال ريمان بعد القرن الــ18 نسبة الى عالم الرياضيات برنهارد ريمان _ بالمعنى الدقيق للكلمة مجال ريمان هو مستوي مركب مع مُلحقة عند اللانهاية
هذا مفيد بشكل لا يُصدق، على الغالب أنك على دراية بالدوال التي تأخذ خط الأعداد الى نفسه. على سبيل المثال تأخذ العدد من خط الأعداد كمدخل ويعود كمخرج. لسوء الحظ الدالة غير مُعرفة عند لأن القسمة على غير مسموح بها. لكن، كلما اقتربت قيمة أكثر وأكثر الى ، تقترب أكثر وأكثر الى موجب مالانهاية اذا كنت قادما من الجانب الموجب، أو سالب مالانهاية اذا كنت قادما من الجانب السالب. اذا استطعت معالجة موجب وسالب مالانهاية باعتبارهما مقدارا واحدا ونفس النقطة الواحدة، اذن الدالة يمكن تعريفها عند وستكون قد تصرفت بشكل جيد تماما هنا. يمكنك أيضا تعريف الدوال التي تأخذ المستوي الى نفسه (الدالة المركبة كمثال) ومرة أخرى قد لا تكون مُعرفة عند كل نقطة لأن لديك القسمة على . مع ذلك، بمعالجة اللانهاية كنقطة ذات خصوصية من المستوي والنظر الى كل شيء باعتباره مجال قد ينتهي بك المطاف مع دالة مُروضة بشكل تام وتصرفها حسن في كل النواحي. الكثير من التحليل المركب، دراسة الدوال المركبة، يتم انجازها على مجال ريمان بدلا من المستوي المركب
التسميات :
موسوعة الرياضيات