بإختصار : ماهو علم التوبولوجي Topology ؟ جميع المعلومات حول الطوبولوجيا

مرحبا بكم على موقع عالم الرياضيات الموقع الأول في المغرب لنشر كل ما يخص الرياضيات قبل دلك أدعوكم الى متابعة صفحة عالم الرياضيات على الفيسبوك أكبر صفحة في العالم العربي متخصصة  في نشر دروس الرياضيات اضغط على الزر للإعجاب بصفحتنا  شكرا لك للإعجاب بصفحتنا .

جميع المعلومات حول علم طوبولوجيا Topology

ماهو علم التوبولوجي Topology ؟
ما هو علم التوبولوجي ؟
الطوبولوجيا كلمة مترجمة من الكلمة الإنجليزية Topology ، و تنقسم كلمة التوبولوجي إلى مقطعين المقطع الأول ( Topo) التي تعود إلى أصليوناني إلى ( Topos ) و التي تعني"مكان" ( Place ) ، و المقطع الثاني هو (logy ) و التي تعود لأصل يوناني ( Logos ) و التي تعني "دراسة" (Study ) ، فلو قمنا بعملية ربط المعنيين في الكلمة ، لوجدنا أن التوبولوجي هو الهندسة الحديثة في دراسة جميع التراكيب والمكونات للفضاءات المختلفة .

إذن يعرف علم الطوبولوجيا :

هو أحد فروع علم الرياضيات و الذي يهتم في دراسة تراكيب و مكونات و خصائص جميع الفضاءات المختلفة ، بحيث تبقى هذه الخصائص متشابهه تحت عمليات التشكيل المتصلة ( Smooth Deformations ) دون أن يقوم بعملية تمزيق أو يترك فتحات في الإنتقال من أحدهما إلى الآخر و بالعكس أيضاً .

و كأن التعريف يخبرنا أن الهندسة التي يتعاملبها التوبولوجي ليست الهندسة التي نعرفها ، بل كأنها هندسة مطاطية ، و لكي يتضح المفهوم بشكل جيد ، لندرس الآتي :

من المعلوم لدينا أن المستوى الإقليدي في الهندسة الإعتيادية التي نعرفها ، أنه بإمكاننا أن نقوم بعملية نقل الأشكال من مكان إلى آخر عن طريق الإزاحة ، و بإمكاننا أيضاً أن نقوم بعملية دوران له و عكسه وقلبه ، و لكن لا نستطيع القيام بعملية ثني له أو القيام بعملية تمدد بشكل متصل .

مفهوم الهندسة المطاطية :

بشكل موجز أن الأشكال عبارة عن قطع من المطاط قابلة للثني و التمدد ، و كل شكلين أو أكثر بإمكاننا أن نحصل على أحدهما من الآخر وبالعكس يكونا متشابهين .

فمثلاً :

المثلث و الدائرة و المربع ، كلها أشكال موجودة في المستوى الإقليدي بخصائصها ، و نقول أن أحدهما كافىء الآخر إذا كان لهما نفس المساحة .

في الهندسة المطاطية جميع هذه الأشكال هي نفسها متشابهه ، فالدائرة هي نفسها المثلث ، و السبب يعود إلى أنه يمكن تشكل المثلث من الدائرة بثني محيط الدائرة و جعلها كزوايا للمثلث و بالعكس يمكن إعادة تشكل الدائرة من المثلث بعملية تمديد أضلاع المثلث إلى دائرة ، و هذا أيضاً ينطبق على المستطيل .

لاحظ أنه عندما قمنا بتشكل أحد هذه الأشكال من الآخر لم نقم بعملية قطع Cut لأحدها و لم نقم بعملية تزيق للشكل من جهة أيترك أي نقطة انفصال .و بالتالي في الهدنسة المطاطية ( التوبولوجي ) يكون الأشكال متشابهه إذا استطعنا الحصول على أحدهما من الآخر بعمليات متصلة و بالعكس . وبالتالي الدائرة لا تشابه الشكل الذي يشبه الرقم بسبب أنه يمكن الحصول عليه من قبل الدائرة و لكن في العكس لا يمكن ، بل سنحتاج إلى فصل منتصف رقم لم نحتاج إلى أي نقطة انفصال من الدائرة إلى الرقم ، و قيس عل ذلك بأمثلة عديدة .

نستطيع القول بأن الأشكال التي تشترك بنفسالعدد من الفتحات ( نقاط الإنفصال ) يكون كلاهما متشابه في الهدنسة المطاطية ، أيكلاهما يشتركان في نفس التوبولوجي ، و التي لا تحوي على أي فتحة تدعى مترابط بشك لبسيط Simply connectedspace.

التوبولوجي يدخل تقريباً في جميع فروع الرياضيات بلغته الخاصة و المميزة .

فروع علم التوبولوجي 

يتفرع التوبولوجي لعدة فروع و هي :

1) التوبولوجي النقطية ( point-set Topology ) :

و هو الفرع الذي يهتم بالتوبولوجي العامة منناحية خصائص الفضاء من ناحية التراكيب كدراسة Compactness التراص و Connectedness ( الترابط ) .

2) التوبولوجي الجبرية ( Algebraic Topology ) :

و هو الفرع الذي يهتم بشكل عام في دراسة درجات الترابط من خلال التراكيب الجبرية ، مثل دراسة علم الهمولوجي ( Homology ) .

3) التوبولوجي الهندسية ( Geometric Topology ) :

و هو الفرع الذي يهتم في دراسة Manifolds ( بنية رياضية كل نقطة فيها لها جوار يكون هميومورفيك إلى الفضاء الإقليدي ) ( و يهتم بالأبعاد حسب أبعاد الفضاء الإقليدي ).

تأريخ التوبولوجي بشكل موجز 

بدأ التفكير في التوبولوجي من خلال مشكلةأولير في المسألة المشهورة " السبعة الجسور في مدينة كونسبريك" (Seven Bridges ofKönigsberg) ، و كانت ورقة أويلر عام

1736 أول نتيجة على الفضاء التوبولوجي .

أول من قدم مصطلح الطوبولوجيا هم الألمان باسم " Topologie " عام 1847 بواسطة جوهان بندكت ، و من ثم أظهر أصحاب التخصص في اللغة الإنجليزية أن كلمة Topologist هو كل شخص متخصص في التوبولوجي .

أما التوبولوجي الحديثة فتعمد بشكل قوي جداً على مفاهيم نظرية المجموعات التي أسست من قبل كانتور في أواخر القرن التاسع عشر.

قام عدة علماء بوضع تعاريف محددة له ، فقام العالم أسكولي و غيرهم بوضع أول تعريف للفضاء المتري الذي يعتبر حالة خاصة في التوبولوجي حالياً في سنة 1906 .

و بعدها قام العالم هاوسدورف بوضع تعريف له والذي يعرف حالياً بفضاء هاوسدورف المشهور جداً في سنة 1914. و لكن أتى العالم كزميرز كورتويسكي Kazimierz Kuratowski. سنة 1922 بوضع التعريف المعروف لدينا حالياً .
=======================================

تعريف الرياضي للتوبولوجي The Definition of Topology  :

لتكن أي مجموعة ، و لتكن هي مجموعة التي جميع المجموعات الجزئية من و الي تدعى ( power set ) .

لنفرض أن ، فإذا كان لدينا :

1) حاصل اتحاد أي عدد من العناصر داخل يكون حاصل اتحادهم داخل .

بالرموز : 
لتكن عائلة من المجموعات داخل فإن 
2) حاصل تقاطع أي عائلة تضم عدد محدود من العناصر من داخل يكون حاصل تقاطعهم داخل .

بالرموز :
لتكن عائلة من المجموعات داخل فإن :
3) المجموعتان و داخل أي :
فإننا نقول أن عبارة عن توبولوجي على المجموعة .
و الزوج المرتب يدعى الفضاء التوبولوجي ( Topological Space ) .

تسمى عناصر بمجموعات مفتوحة ( Open Sets )، نشير إلى أن متممة المجموعة المفتوحة تكون مجموعة مغلقة في ( Closed set ) ، و قد تكون في فضاءات توبولوجية خاصة مجموعات تكون كلوبن ( Clopen Sets ) أي أنها مغلقة و مفتوحة في نفس الوقت ، و في أي فضاء توبولوجي المجموعتين دائماً تكون مجموعات كلوبن .

نشير إلى إشارة بسيطة بأن الشرط الثاني يمكن تبسيطه إلى ان تقاطع أي مجموعتين من عناصر يجب أن يكون حاصل تقاطعهم داخل ، و يكون الشرط الثاني المذكور في الأعلى عبارة عن تعميم عن طريق الإستقراء الرياضي ( الترجع ) .
هذا المقال للأستاذ نوار الاسدي

تعليقات

  1. على العموم الجبر يدرس العلاقة بين عناصر المجموعة الواحدة
    التحليل يدرس العلاقة بين عناصر مجموعتين
    الطبولوجيا تدرس العلاقة بين أجزاء المجموعة

    ردحذف

إرسال تعليق

🤔✍️ أخبرنا هل استفدت من الموضوع ؟ 😍 وان كان لك أي تعليق نرحب بتعليق 😍