تعرف على مجال ريمان في الرياضيات

مرحبا بكم على موقع عالم الرياضيات الموقع الأول في المغرب لنشر كل ما يخص الرياضيات قبل دلك أدعوكم الى متابعة صفحة عالم الرياضيات على الفيسبوك أكبر صفحة في العالم العربي متخصصة  في نشر دروس الرياضيات اضغط على الزر للإعجاب بصفحتنا  شكرا لك للإعجاب بصفحتنا .
اذا كنت تمشي في أنحاء مستوي ثنائي الأبعاد، يمكنك الاستمرار بالمشي الى أجل غير مُسمى في كل الاتجاهات. يمكنك القول جازما، وفق حدسك، أن هناك مالانهاية في جميع أنحاء حافة المستوي، لكن بطبيعة الحال لايمكنك أبدا الوصول أو حتى رؤية تلك الحافة. لكن لا يزال بامكانك تخيل ما قد يحدث اذا قمت بكمش (من الانكماش) أوتقليص تلك الحافة-اللانهائية  الى نقطة. ربما قد يكون هذا على نحو ما، مثل تشديد الرباط على طوق حقيبة قماش، عندما تشُد الرباط، الحقيبة تُغلق وتصبح مُشابهة لمجال مُشوه

sphere_big


هناك طريقة لجعل هذا الحدس دقيقا. تخيل كرة ومُستوي  يشمل خط استوائها. من أجل أي نقطةP على هذا المستوى الاستوائي، ارسم خط مستقيم يصلها بالقطب الشمالي للكرة. هذا الخط المستقيم سيقطع الكرة عند بعض النقاط. اذا كانتP خارج الكرة،  سيقطع النصف الشمالي للكرة. اذا كانتP  داخل الكرة سيقطع الخط النصف الجنوبي للكرة. واذا كانتP على الكرة، فسيقطع في الواقع  خط الاستواء، وستكون هي ذاتها (الكرة) نقطة التقاطع. هذه الطريقة في ربط (وصل) كل نقطة في المستوي بنقطة واحدة بالضبط على الكرة تُدعى الاسقاط الكروي
من السهل أن نرى أن الأبعد خارجا، من على المستوي، نقطتكP، أقرب صورة مُسقَطة لها على الكرة هي عند القطب الشمالي. لكن ولا نقطة على المستوي اسقاطها عند القطب الشمالي في حد ذاته. القطب الشمالي لا يزال مُتاحا وكنتيجة لتسلسل انتقال النقاط نحو المالانهاية على المستوي، اسقاطاتها تنتقل نحو القطب الشمالي على الكرة. ومنه فأنت تُصرح الآن أن اللانهاية هي مجرد نقطة (تعادل الرباط المشدود) اسقاطها هو القطب الشمالي للكرة
ما تحصل علية هو استمرارية  التوافق واحد-الى-واحد  بين المستوي الخاص بك واللانهاية والكرة. الاثنان يمكن أن نعتبرهما واحدا ونفس الشئ.  المستوي مع نقطة مُلحقة عند المالانهاية يُدعى مجال ريمان بعد القرن الــ18 نسبة الى عالم الرياضيات برنهارد ريمان _ بالمعنى الدقيق للكلمة مجال ريمان هو مستوي مركب مع مُلحقة عند اللانهاية
هذا مفيد بشكل لا يُصدق، على الغالب أنك على دراية بالدوال التي تأخذ خط الأعداد الى نفسه. على سبيل المثالf(x)=\frac{1}{x} تأخذ العددx من خط الأعداد كمدخل ويعود\frac{1}{x} كمخرج. لسوء الحظ الدالة غير مُعرفة عندx=0 لأن القسمة على0 غير مسموح بها. لكن، كلما اقتربت قيمةx أكثر وأكثر الى 0، f(x) تقترب أكثر وأكثر الى موجب مالانهاية (+\infty)اذا كنت قادما من الجانب الموجب، أو سالب مالانهاية(-\infty) اذا كنت قادما من الجانب السالب. اذا استطعت معالجة موجب وسالب مالانهاية باعتبارهما مقدارا واحدا ونفس النقطة الواحدة، اذن الدالة يمكن تعريفها عند x=0 وستكون قد تصرفت بشكل جيد تماما هنا. يمكنك أيضا تعريف الدوال التي تأخذ المستوي الى نفسه (الدالة المركبةf(z)=\frac{1}{z} كمثال) ومرة أخرى قد لا تكون مُعرفة عند كل نقطة لأن لديك القسمة على 0. مع ذلك، بمعالجة اللانهاية كنقطة ذات خصوصية من المستوي والنظر الى كل شيء باعتباره مجال قد ينتهي بك المطاف مع دالة مُروضة بشكل تام وتصرفها حسن في كل النواحي. الكثير من التحليل المركب، دراسة الدوال المركبة، يتم انجازها على مجال ريمان بدلا من المستوي المركب
دروس الرياضيات لكل المستويات