نظرية ذات الحدين للعالم نيوتن لنشر المتطابقات الهامة

مرحبا بكم على موقع عالم الرياضيات الموقع الأول في المغرب لنشر كل ما يخص الرياضيات قبل دلك أدعوكم الى متابعة صفحة عالم الرياضيات على الفيسبوك أكبر صفحة في العالم العربي متخصصة  في نشر دروس الرياضيات اضغط على الزر للإعجاب بصفحتنا  شكرا لك للإعجاب بصفحتنا .
نظرية ذات الحدين أو ما يسمى ثنائي نيوتن هي صيغة وضعها نيوتن لإيجاد نشر لثنائي مرفوع بقوة صحيحة ما. ويطلق على هذه الصيغة صيغة ثنائي نيوتن، أو ببساطة صيغة الثنائي .
نظرية دات الحدين 

صيغة نظرية ذات الحدين 

فلنعتبر ثنائيا متكونا من عنصرين x وy معرفين على مجموعة حيث xy=yx، وعددا صحيحا طبييعا n،
(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k
حيث الأعداد {n \choose k} (و التي تكتب أحيانا C_{k}^n) هي المعاملات الثنائية.
هذا المجموع يعتمد على المعاملات الثنائية (التوافيق) الموجودة على أحد سطور مثلث باسكال.
تغيير y ب y - داخل الصيغة، يعطي الصيغة :
(x-y)^n=\sum_{k=0}^n (-1)^k{n \choose k} x^{n-k} y^k
مثال :
n=2~,\qquad(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\,
n=3~,\qquad(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3\,
n=4~,\qquad(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4\,

البرهان على نظرية ذات الحدين

فلتكن x، y عناصر من مجموعة حيث xy=yx وn عددا طبيعيا صحيحا.
(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k
فلنبين هذه الصيغة بالـ "الطريقة التراجعية" :

البداية

n=0~,\qquad(x+y)^0=1={0 \choose 0}x^0y^0
n=1~,\qquad(x+y)^1= x + y ={1 \choose 0}x^1y^0 + {1 \choose 1}x^0y^1

صحة العنصر التالي

فليكن n عددا صحيحا طبيعيا أكبر أو مساو لـ 1, فلنبين أن العلاقات صحيحة لـ n + 1 إذا كانت صحيحة لـ n:
حسب الافتراض الأول :
(x+y)^{n+1}=(x+y)\cdot\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k,
بتوزيعية \cdot على + :
(x+y)^{n+1}=x^{n+1}+x\cdot\sum_{k=1}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k 
+y\cdot\sum_{k=0}^{n-1} {n \choose k} x^{n-k} y^k
+ y^{n+1}
بالتفكيك إلى جذاء :
(x+y)^{n+1} =x^{n+1}+\sum_{k=1}^n \left\lbrack {{n} \choose {k}} + {{n} \choose {k-1}} \right\rbrack x^{n-k+1} y^{k}+ y^{n+1}
باستعمال صيغة مثلث باسكال :
(x+y)^{n+1} =x^{n+1}+\sum_{k=1}^n {{n+1}\choose k}~x^{n-k+1} y^{k}+y^{n+1}
و هو ما ينهي التبيين الافتراضى.
لتتعرف أكثر على هذه النظرية شاهد فيديو تطبيقي لها : (شاهذ الفيديو

أقترح عليك قراءة  : مالا تعرفه عن نظرية فيثاغورس.. القصة الكاملة